Variations d'une suite géométrique

Propriété
Soit \((u_n)\) une suite géométrique de raison \(q\) strictement positive et de premier terme \(u_0\) strictement positif.

• Si \(q>1\) alors la suite \((u_n)\) est strictement croissante.
  
• Si \(q=1\) alors la suite \((u_n)\) est constante. 
  
• Si \(0<q<1\) alors la suite \((u_n)\) est strictement décroissante.
  

Exemples

• La suite géométrique modélisant le montant présent dans un livret d'épargne au taux d'intérêt annuel fixe de \(2~\%\), avec un versement initial de \(5~000\) euros et sans versements complémentaires, est strictement croissante puisque la raison est \(1{,}02\) et le premier terme \(5~000\) . En effet, \(1,02>1\) et \(5~000>0\).
  
• La suite géométrique \((v_n)\) de premier terme \(v_0=10\) et de raison \(q=0{,}5\) est strictement décroissante puisque  \(0<q<1\) et par \(v_0>0\).
  

Remarques

• Le cas où \(q\leq0\) n'est pas au programme.
  
• La condition sur le premier terme \(u_0\) strictement positif est nécessaire.
  Voici un contre-exemple :
  Soit \((v_n)\) la suite géométrique telle que \(v_0=-1\) et \(q=2\).
  D'après la propriété, comme \(q>1\), on pourrait penser que la suite est croissante.
  Or, le calcul des premiers termes donne : \(v_1=q\times v_0=2\times (-1)=-2\),
  puis \(v_2=q\times v_1=2\times (-2)=-4\)...
  Cette suite n'est donc pas croissante, elle semble être décroissante.
  On comprend ainsi l'importance de l'hypothèse : « de premier terme \(u_0\) strictement positif ».